By Jean-Pierre Serre (auth.)

ISBN-10: 3540070281

ISBN-13: 9783540070283

ISBN-10: 3540371230

ISBN-13: 9783540371236

Chapitre I. 1DIAUX PIlEMIEIS IT LOCALISATION I I. Wotationa et definitions I 2. Lemme de Bakay. . . . 2 three. Localisation • • • four. Anneaux et 80dules noethiriens 2 five. Spectre•••••• three four 6. Le cas noetherien. four 7. Ideaux pre. iers associe. Chapitre eleven. OUTILS IT SOUTES A) Filtr·ations et graduations. eight I. Anneaux et modules filtres • eight 2. Topologie definie par UDe filtration nine 10 three. Coapletion des modules filtres • • • II four. Anneaux et modules graduis • • • • • five. au tout redevient noethirien; filtrations ~-adiques. 15 20 6. Modules differentiels filtres•••••••••••• B) Polynoaes de Hilbert-SamueL ••••••••••• 26 I. Rappel sur les polynOmes Ii valeurs entieres•••• 26 27 2. Fonctions ingredients sur les different types de modules. 29 three. Le polynOme caractiristique de Hilbert 32 four. Les invariants de Hilbert-Samuel Chapitre 111. T1I£ORlE DE l. a. DDlE!ISION A) size des extensions. entieres. 38 I. Definitions. • • • • • • • • • • • • 38 2. Le most effective theore- de Cohen-Seidenberg. 39 three. Le moment theoreme de Cohen-Seidenberg • 4I B) measurement dans les anneaux noetheriens. forty three I. measurement d'un module. • • • forty three 2. Le cas semi-local noetherien forty four three. Syste. es de parametres forty seven C) Anneaux normaux forty eight I. caracterisation des anneaux normaux. forty eight 2. Proprietes des anneaux noraaux fifty one three. Fermeture integrale. fifty three D) Anneaux de polynomes. • • • • • fifty four I.

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Lt') , coht(~ ')coht(~') • n'est contenu dans aucun des ideaux premiers minimaux de ~ coht(~ ~ coht(~') + 1 • 2. Le premier theoreme de Cohen-Seidenberg. Soit B un anneau contenant que tout element x de A et ~ B verifie une sur an 39 :z • Cela signifie "equation de dependance inte- grale": + ••• + A 0 , avec II1-3 Lemme 1. Supposons il suffit que Si B integre. Pour que ce soit un corps, 11 faut et A en soit un. A est un corps, tout integre de type fini sur XE. 1), d'ou Ie resultat. Supposons que de A • Soit B soit un corps, et soit x son inverse dans B a un element non nul • L'element x verifie une equation (4), d'ou et l'on a xEA ,oqfd.

Annui dans Ho ). Il en resulte que si a /a i - 1 t 0 et homogene de degre t , a i /R i - 1 oon- 1 est le corps k Ho/m. r contient 1 t element tient l , et ce dernier module est [x1 , ••• ,Xr ] • D'ou. In-t+r-1) \ n} si r-1 t Finalement, ~ \ (0 n-t+r-1) (a,n) , si n} t , d'ou le resultat. r-1 4. Les invariants de Hilbert-3amuel. Soit A un anneau (noetherien, oommutatif, M un A-module (unitaire, de type tini) et que M/i)( i a element unite), un ideal de soit de longueur tinie, c1est"-&-dire tel que A tel V(M){)W(i) .

U1. 1. 1. la question, -J cqfd. Un ideal ~ de A est dit divisoriel si ses ideaux premiers essentiels sont tous de hauteur 1 , en vertu du corol1aire a ls proposition 9, il revient au mIme de dire que ~ est de la forme f"\ (ni ) I \ Ei ' avec n i ') 0 et ht(Ei)· 1 ; on a done XE.! si et seulement si x~A et pour tout i On etend imme- diatement cette definition aux idaaux fractionnaires non nuls de par rapport a A K • Les ideaux divisoriels correspondent bijective- ment aux diViseurs de A , c'est-a-dire aux elements du groupe abelien libre engendre par les ideaux premiers de hauteur 52 1.

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