By Prof. Dr. Max Deuring (auth.)

ISBN-10: 3642855334

ISBN-13: 9783642855337

ISBN-10: 3642855342

ISBN-13: 9783642855344

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Zeigt folgendes Beispiel: Grundkorper P sei der Korper einer Unbestimmten 7: tiber einem Korper der Charakteristik 2. msei die Algebra mit vier Basiselementen e, a, b, c und der Multiplikationstafel ~ und rJ beliebig aus P - a a I e e a b c e a b c 7:e+~b+rJc c 7:b b c b c c 7:b 0 0 0 0 + Das Radikal ist lR = P b Pc. mjlR ist mit P (7:t) isomorph. In der Restklasse von e modulo lR gibt es nur das eine Idempotent e, denn (e IXb fJC)2 = e. Ebenso ist das Quadrat eines Elementes aus der Restklasse von a modulo lR stets 7: e ~b rJ c, daher ist es unmoglich, e' == e, a' == a (lR) so auszuwahlen, daB e' 2 = e', e' a' = a' e' = a' , a' 2 = 7: e' wird.

Die Einbettung von )8 in sei s-fach, also f = r s, wenn r der Grad der irreduziblen Darstellung von )8 in A* ist. Es wird dann nach Satz 4 Q: = F s ' ·wenn )8A* =rt*. Nach (3) gilt (r*: P)tr = (A: P)r2. m m m Nach (2) ist tr = ()8 : P), also (r*: P)()8: P)S2 = (A: P)r 2 s2. Da (r*: P)S2 = (Q:: P), rs = fist, so folgt (Q: : P) ()8 : P) = (m: P). Aus dieser Rangrelation folgt, daB der Ring der mit Q: elementweise vertauschbaren GraBen von m, der )8 umfaBt, nicht graBer als )8, also gleich )8 ist.

A ist zuHissiger Teilmodul wegen IX -1 a IX <: a fUr IX cA. Nach § 1, Satz 2, wird a Erweiterungsmodul seines Durchschnittes ao mit mz . ao ist zweiseitiges Ideal von mz . 2. Wenden wir Satz 2 an auf das Radikal von mA, so folgt Satz 3. mA ist dann und nur dann halbeinfach, wenn mz halbeinfach ist. Die Anzahl der einfachen Bestandteile von mA ist gleich der von mz , das folgt entweder wieder mittels Satz 2 oder aus der Tatsache, daB mA und mz das Zentrum gemeinsam haben, dessen Zerlegung ja fUr die Zerlegung des ganzen Ringes in einfache Bestandteile maBgebend ist (II, § 2, Satze 3, 4).

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Algebren by Prof. Dr. Max Deuring (auth.)


by Ronald
4.2

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