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S ti / ^ a tij / ! b tl ! juj/i . 34 Kapitel 2 Die Komplexitätsklassen P und NP Wie man sieht, folgen wir mit der obigen Konstruktion genau der zu Beginn dieses Beweises erläuterten Idee, die Arbeitsweise der Turingmaschine durch eine Formel zu simulieren. a/ die Transformation u ! u/ erfüllbar ist. u/, wobei im Folgenden n WD juj. Da ˛ D ˛1 ^ ^ ˛8 ; reicht es also, die Anzahl der Variablen in den Teilformeln abzuschätzen. juj/ polynomielle Anzahl der Variablen (man beachte, dass die Werte s; m und % Konstanten sind, die von der Turingmaschine M abhängen).

Zunächst starten wir mit dem berühmten Satz von Cook, der zeigt, dass das Problem S AT (Satisfiability), d. h. die Frage, ob eine aussagenlogische Formel in konjuktiver Normalform erfüllbar ist, NP-vollständig ist. Dieser Satz wurde von Cook 1971 (siehe [44]) und unabhängig davon von Levin 1973 (siehe [143]) bewiesen. Aussagenlogische Formeln bestehen aus booleschen Variablen x1 ; x2 ; : : : und Operatoren ^; _; :: Die Variablen xi und :xi heißen auch Literale. y1 _ _yk / mit Literalen y1 ; : : : ; yk heißt Klausel und ˛ D c1 ^ ^cm mit Klauseln c1 ; : : : ; cm auch Ausdruck in konjunktiver Normalform.

Sei … ein Optimierungsproblem und …0 das zugehörige Entscheidungsproblem. Dann heißt … NP-schwer, wenn …0 NP-schwer ist. Der folgende Satz ist die zentrale Motivation für die Betrachtung von Approximationsalgorithmen. 24. Unter der Voraussetzung P 6D NP existieren für NP-schwere Optimierungsprobleme keine optimalen polynomiellen Algorithmen. Beweis. I; F; w/ NP-schwer. Angenommen, es existiert ein optimaler polynomieller Algorithmus A für …. Dann gibt es offensichtlich auch einen polynomiellen Algorithmus für das zugehörige Entscheidungsproblem …0 (man berechne erst den optimalen Wert und vergleiche diesen dann mit der Zahl in der Eingabe).

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